【矩阵的特征值和特征向量】

主要测查应试者对矩阵的特征值理论、相似矩阵、实对称矩阵对角化的掌握程度。 要求应试者理解矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵的概念，掌握矩阵特征值的性质，矩阵的特征值和特征向量的计算、矩阵可相似对角化的充分必要条件、将矩阵化为相似对角 矩阵的方法、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质等理论。

本章内容主要包括矩阵的特征值和特征向量的概念与性质、相似变换、相似矩阵的概念 及性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵、实对称矩阵的特征值和特征向 量及其相似对角矩阵。

第一节 特征值与特征向量

一、特征值与特征向量的概念

矩阵的特征值、特征向量;特征多项式;特征方程。

二、特征值与特征向量的性质和计算

特征值和特征向量的性质;特征值和特征向量的计算;矩阵的迹;矩阵的特征值与矩阵的关系;相异特征值对应的特征向量。

三、相似矩阵的概念和性质

相似矩阵;相似变换;相似矩阵的性质;相似矩阵的特征值和迹。

第二节 矩阵的相似对角化

一、相似对角化的条件和方法

矩阵的对角化;n 阶矩阵可对角化的充要条件;n 阶矩阵可对角化的充分条件;n 阶矩阵相似对角化的步骤。

二、可对角化矩阵的多项式

对角矩阵的幂;可对角化矩阵的多项式。

第三节 实对称矩阵的对角化

一、实对称矩阵的特征值与特征向量

实对称矩阵的特征值为实数;实对称矩阵中相异特征值对应的特征向量是正交的。

二、实对称矩阵的对角化

实对称矩阵可相似正交对角化;实对称矩阵相似正交对角化的步骤。